यदि समीकरण 8x^3 - 14x^2 + 7x - 1 = 0 के मूल G | vedclass

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Question

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}

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$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं। त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है। यहाँ,$A = 8, B = -14, C = 7, D = -1$ है। मूलों का गुणनफल: $(\frac{a}{r}) 	imes a 	imes (ar) = a^3 = -(\frac{-1}{8}) = \frac{1}{8}$। अतः,$a^3 = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{2}$। चूंकि $a = \frac{1}{2}$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $8(\frac{1}{2})^3 - 14(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 1 = 8(\frac{1}{8}) - 14(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 1 = 1 - 3.5 + 3.5 - 1 = 0$। बहुपद को $(x - \frac{1}{2})$ या $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $4x^2 - 5x + 1 = 0$ प्राप्त होता है। $4x^2 - 5x + 1 = (4x - 1)(x - 1) = 0$ का गुणनखंड करने पर,हमें $x = 1$ और $x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होते हैं। अतः मूल $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ हैं,जो सामान्य अनुपात $r = \frac{1}{2}$ के साथ $G.P.$ में हैं।

यदि समीकरण $8x^3 - 14x^2 + 7x - 1 = 0$ के मूल $G.P.$ में हैं,तो मूल क्या हैं?

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