यदि समीकरण $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ के मूल $A.P.$ में हैं,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ $A.P.$ में हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{21}$ एक $A.P.$ में हैं और $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$ है,तो $\sum_{r=1}^{21} a_r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ एक समांतर श्रेणी में हैं और उनका सार्व अंतर $d$ है,तो $\sin d [\csc a_1 \csc a_2 + \csc a_2 \csc a_3 + \dots + \csc a_{n-1} \csc a_n]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_n$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं। यदि $a_5 = 2a_3$ और $a_{11} = 18$ है,तो $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)$ का मान $..........$ है।

यदि किसी $A.P.$ का $9$ वां पद शून्य है,तो उसके $29$ वें पद और $19$ वें पद का अनुपात क्या होगा?