यदि अवकल समीकरण (x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy-(2x^2+ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$. चरों को अलग करने पर: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$. हर का गुणनखंड

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$. चरों को अलग करने पर: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$. हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2 = (x^2+1)(x^2+2x+2)$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{2x^2+2x+3}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+2x+2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}dx$. $y = 	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(x+1) + C$. दिया है $y(-1) = -\frac{\pi}{4}$: $-\frac{\pi}{4} = 	an^{-1}(-1) + 	an^{-1}(0) + C$. $-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 0 + C \Rightarrow C = 0$. अतः,$y(x) = 	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(x+1)$. $y(0)$ के लिए: $y(0) = 	an^{-1}(0) + 	an^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

यदि अवकल समीकरण $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy-(2x^2+2x+3)dx=0$ का हल $y=y(x)$,$y(-1)=-\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करता है,तो $y(0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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