यदि अवकल समीकरण (y-2 ln x) dx + (x ln x^2) dy | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ प्राप्त होता है।$dx

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$3$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y-2 \ln x) dx + (2x \ln x) dy = 0$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2x \ln x) dy = (2 \ln x - y) dx$ प्राप्त होता है।$dx$ और $(2x \ln x)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{y}{2x \ln x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{2x \ln x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{2x \ln x} dx}$ है।माना $\ln x = t$,तो $\frac{1}{x} dx = dt$. अतः,$I$.$F$. $= e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{\frac{1}{2} \ln t} = \sqrt{t} = \sqrt{\ln x}$।व्यापक हल $y \cdot 	ext{I.F.} = \int Q(x) \cdot 	ext{I.F.} dx + C$ है।$y \sqrt{\ln x} = \int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} dx$.माना $\ln x = u^2$,तो $\frac{1}{x} dx = 2u du$. समाकलन $\int u \cdot 2u du = 2 \int u^2 du = \frac{2}{3} u^3 + C = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + C$ बन जाता है।बिंदु $(e, \frac{4}{3})$ का उपयोग करने पर,$\frac{4}{3} \sqrt{\ln e} = \frac{2}{3} (\ln e)^{3/2} + C \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$।अतः,$y \sqrt{\ln x} = \frac{2}{3} (\ln x)^{3/2} + \frac{2}{3}$।बिंदु $(e^4, \alpha)$ के लिए,$\alpha \sqrt{\ln e^4} = \frac{2}{3} (\ln e^4)^{3/2} + \frac{2}{3}$।$\alpha \sqrt{4} = \frac{2}{3} (4)^{3/2} + \frac{2}{3} \Rightarrow 2\alpha = \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{2}{3} = \frac{16+2}{3} = 6$।अतः,$\alpha = 3$।

यदि अवकल समीकरण $(y-2 \ln x) dx + (x \ln x^2) dy = 0, x > 1$ का हल वक्र बिंदुओं $(e, \frac{4}{3})$ और $(e^4, \alpha)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha$ का मान $................$ है।

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