यदि -1

Question

(B) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}ight)=\frac{\pi}{3}$.चूँकि $y > 0$ के लिए $\cot ^{-1

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$2$

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(B) दिया गया समीकरण: $	an ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}ight)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}ight)=\frac{\pi}{3}$.चूँकि $y > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(y) = 	an ^{-1}(\frac{1}{y})$ होता है,इसलिए $\frac{1-x^2}{2x} > 0$ अर्थात $x(1-x^2) > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।स्थिति $I$: $x(1-x^2) > 0$. यह $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ के लिए सत्य है।यदि $x \in (0, 1)$ है,तो $\frac{2x}{1-x^2} > 0$,अतः $2 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{6}$.अतः $\frac{2x}{1-x^2} = 	an(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$. $x > 0$ के लिए हल करने पर,$x = 2 - \sqrt{3}$.स्थिति $II$: $x(1-x^2) तब $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \pi + 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ होगा।समीकरण $2 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) + \pi = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow 	an ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{\pi}{3}$.अतः $\frac{2x}{1-x^2} = 	an(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$. $x हलों का योग $(2 - \sqrt{3}) + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।$\alpha - \frac{4}{\sqrt{3}}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

यदि $-1 < x < 1$ और $x \neq 0$ के लिए $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}$ के सभी हलों का योग $\alpha-\frac{4}{\sqrt{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान $..........$ है।

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