જો G.P. (ગુણોત્તર શ્રેણી) ના n પદોનો સરવાળો S | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે ......$(i)$ગુણાકાર $P = a \cdot (a

Vedclass · Accepted Answer

${\left( {\frac{S}{R}} \right)^n}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $G.P.$ ના $n$ પદો $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ છે.સરવાળો $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ દ્વારા મળે છે ......$(i)$ગુણાકાર $P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \dots (ar^{n-1}) = a^n r^{0+1+2+\dots+(n-1)} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ છે.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ મળે ......(ii)વ્યસ્તનો સરવાળો $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}$ છે.આ એક $G.P.$ છે જેનું પ્રથમ પદ $\frac{1}{a}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{r}$ છે.$R = \frac{\frac{1}{a}(1 - (\frac{1}{r})^n)}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{\frac{1}{a}(\frac{r^n - 1}{r^n})}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1}(r - 1)} = \frac{1 - r^n}{a r^{n-1}(1 - r)}$ ......(iii)હવે,$\frac{S}{R} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \cdot \frac{a r^{n-1}(1 - r)}{1 - r^n} = a^2 r^{n-1}$ થાય.તેથી,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$ થાય.સમીકરણ (ii) સાથે સરખાવતા,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ મળે છે.

જો $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) ના $n$ પદોનો સરવાળો $S$ હોય,ગુણાકાર $P$ હોય અને તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $R$ હોય,તો ${P^2}$ કોના બરાબર થાય?

Similar Questions

ભૌમિતિક શ્રેણી $5+25+125+\ldots$ નું $10$ મું પદ શોધો.

જો $1+(1-2^{2} \cdot 1)+(1-4^{2} \cdot 3)+(1-6^{2} \cdot 5)+\ldots+(1-20^{2} \cdot 19) = \alpha - 220 \beta$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ બરાબર શું થાય?

શ્રેણી $\frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{26}{27} + \frac{80}{81} + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

ધારો કે $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ એ $A.P.$ માં છે અને $h_1, h_2, \dots, h_{10}$ એ $H.P.$ માં છે. જો $a_1 = h_1 = 2$ અને $a_{10} = h_{10} = 3$ હોય,તો $a_4 h_7$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module