यदि एक G.P. (गुणोत्तर श्रेणी) के n पदों का यो | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $G.P.$ के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।योग $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है ......$(i)$गुणनफल $P = a \cdo

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${\left( {\frac{S}{R}} \right)^n}$

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(D) मान लीजिए $G.P.$ के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।योग $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है ......$(i)$गुणनफल $P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \dots (ar^{n-1}) = a^n r^{0+1+2+\dots+(n-1)} = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$ प्राप्त होता है ......(ii)व्युत्क्रमों का योग $R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}$ है।यह एक $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $\frac{1}{a}$ और सार्व अनुपात $\frac{1}{r}$ है।$R = \frac{\frac{1}{a}(1 - (\frac{1}{r})^n)}{1 - \frac{1}{r}} = \frac{\frac{1}{a}(\frac{r^n - 1}{r^n})}{\frac{r - 1}{r}} = \frac{r^n - 1}{a r^{n-1}(r - 1)} = \frac{1 - r^n}{a r^{n-1}(1 - r)}$ ......(iii)अब,$\frac{S}{R} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \cdot \frac{a r^{n-1}(1 - r)}{1 - r^n} = a^2 r^{n-1}$ होता है।अतः,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$ होता है।समीकरण (ii) से तुलना करने पर,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ प्राप्त होता है।

यदि एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) के $n$ पदों का योग $S$ है,गुणनफल $P$ है और उनके व्युत्क्रमों का योग $R$ है,तो ${P^2}$ किसके बराबर है?

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