यदि श्रेणी {left( {frac{3}{4}} right)^3} + {l | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \rig

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$27$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} ight)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} ight)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} ight)^3} + \dots$ है,जो $15$ पदों तक है।इसे $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} ight)^3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अचर पद को बाहर निकालने पर,$\left( \frac{3}{4} ight)^3 \sum_{r=1}^{15} r^3 = \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग का सूत्र $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} ight]^2$ है।$n=15$ के लिए,$\sum_{r=1}^{15} r^3 = \left[ \frac{15 	imes 16}{2} ight]^2 = (15 	imes 8)^2 = 120^2 = 14400$ है।अतः,योग $S = \frac{27}{64} 	imes 14400$ है।$S = 27 	imes \frac{14400}{64} = 27 	imes 225$ है।दिया गया है कि $S = 225k$,इसलिए $225k = 27 	imes 225$ है।अतः,$k = 27$ है।

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