(2n - 1) + 2(2n - 3) + 3(2n - 5) + ..... के n | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{n} k(2n - (2k - 1))$ है।सामान्य पद $T_k = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ का विस्तार करने पर।$k=1$ से $n$ तक योग कर

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$n(n + 1)(2n + 1)/6$

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(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{k=1}^{n} k(2n - (2k - 1))$ है।सामान्य पद $T_k = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ का विस्तार करने पर।$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:$S = \sum_{k=1}^{n} (2nk - 2k^2 + k) = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$S = 2n \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - 2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$।$S = n^2(n + 1) - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + \frac{n(n + 1)}{2}$।$\frac{n(n + 1)}{6}$ को कॉमन लेने पर:$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 2(2n + 1) + 3]$।$S = \frac{n(n + 1)}{6} [6n - 4n - 2 + 3] = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।

$(2n - 1) + 2(2n - 3) + 3(2n - 5) + .....$ के $n$ पदों का योग है

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