यदि वक्र y^{2}=2x^{3} पर बिंदु P(h, k) पर स्प | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $y^{2}=2x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3

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केवल $(h, k)=\left(\frac{1}{8},-\frac{1}{16}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वक्र $y^{2}=2x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{y}$।बिंदु $P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{1} = \frac{3h^{2}}{k}$ है।दी गई रेखा $4x=3y$ है, अर्थात $y=\frac{4}{3}x$, जिसकी ढाल $m_{2} = \frac{4}{3}$ है।चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के लंबवत है, $m_{1} 	imes m_{2} = -1$।अतः, $\left(\frac{3h^{2}}{k}ight) 	imes \left(\frac{4}{3}ight) = -1 \Rightarrow \frac{4h^{2}}{k} = -1 \Rightarrow k = -4h^{2}$।चूंकि बिंदु $P(h, k)$ वक्र पर स्थित है, $k^{2} = 2h^{3}$।$k = -4h^{2}$ को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-4h^{2})^{2} = 2h^{3} \Rightarrow 16h^{4} = 2h^{3}$।इससे $2h^{3}(8h - 1) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $h=0$ या $h=\frac{1}{8}$।यदि $h=0$ है, तो $k=0$ होता है। हालाँकि, $(0,0)$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है (वक्र में वहां एक नोक है), इसलिए स्पर्श रेखा मानक रूप में परिभाषित नहीं है।यदि $h=\frac{1}{8}$ है, तो $k = -4(\frac{1}{8})^{2} = -4(\frac{1}{64}) = -\frac{1}{16}$।अतः, बिंदु $\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}ight)$ है।

यदि वक्र $y^{2}=2x^{3}$ पर बिंदु $P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा, सीधी रेखा $4x=3y$ के लंबवत है, तो

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