यदि $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा, जहाँ $|t|>1$, $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ के बिंदु $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर अभिलंब है, तो

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ और अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 4$ की नाभियाँ समान हैं और वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो दोनों शांकवों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।

एक दीर्घवृत्त $E$,अतिपरवलय $H$ और परवलय $P$ पर विचार करें,जहाँ प्रत्येक वक्र की नाभि $(2, 3)$ है और संगत नियता $x + y - 10 = 0$ है। यदि $(\alpha, \alpha_1)$,$(\beta, \beta_1)$,और $(\gamma, \gamma_1)$ क्रमशः दीर्घवृत्त,अतिपरवलय और परवलय के दी गई नियता के निकटतम शीर्ष हैं,तो:

एक वृत्त खींचा गया है जिसका केंद्र परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष है और जिसका व्यास परवलय के नाभिलंब का तीन-चौथाई है। यदि $PQ$ वृत्त और परवलय की उभयनिष्ठ जीवा है और $L_1L_2$ नाभिलंब है,तो समलंब चतुर्भुज $PL_1L_2Q$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y^2 = x$ के बिंदु $(\alpha, \beta)$,$(\beta > 0)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 1$ की भी स्पर्श रेखा है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।