यदि वक्र y^{2} = x^{3} की (m^{2}, m^{3}) पर स | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $y^{2} = x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$।बिंदु $(m^{2}

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$-\frac{4}{9}$

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(D) दिया गया वक्र $y^{2} = x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$।बिंदु $(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $T_{1} = \frac{3(m^{2})^{2}}{2(m^{3})} = \frac{3m^{4}}{2m^{3}} = \frac{3m}{2}$ है।$(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - m^{3} = \frac{3m}{2}(x - m^{2})$ है, जिसे सरल करने पर $3mx - 2y - m^{3} = 0$ प्राप्त होता है।बिंदु $(M^{2}, M^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{3M}{2}$ है। अतः, अभिलंब की ढाल $N_{2} = -\frac{2}{3M}$ होगी।$(M^{2}, M^{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - M^{3} = -\frac{2}{3M}(x - M^{2})$ है, जिसे सरल करने पर $2x + 3My - (3M^{4} + 2M^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि स्पर्श रेखा और अभिलंब समान हैं, इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:$\frac{3m}{2} = \frac{-2}{3M} \Rightarrow 9mM = -4 \Rightarrow mM = -\frac{4}{9}$।

यदि वक्र $y^{2} = x^{3}$ की $(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा, $(M^{2}, M^{3})$ पर अभिलंब भी है, तो $mM$ का मान ज्ञात कीजिए।

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