यदि $x, y$ और $z$ के मान जो समीकरणों $2x - 3y + 2z + 15 = 0$,$3x + y - z + 2 = 0$ और $x - 3y - 3z + 8 = 0$ को एक साथ संतुष्ट करते हैं,वे क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं,तो:

समीकरणों की प्रणाली $2x + y + z = \beta$,$10x - y + \alpha z = 10$ और $4x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व किस पर निर्भर करता है?

निम्नलिखित समीकरणों $x_2 - x_3 = 1$,$-x_1 + 2x_3 = -2$,$x_1 - 2x_2 = 3$ के हलों की संख्या क्या है?

समीकरणों की प्रणाली $x + ky - z = 0$,$3x - ky - z = 0$,और $x - 3y + z = 0$ का $k =$ के लिए एक गैर-शून्य समाधान है।

मान लीजिए $S$ सभी स्तंभ आव्यूहों $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ का समुच्चय है,जहाँ $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ और समीकरणों की प्रणाली (वास्तविक चरों में)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
का कम से कम एक हल है। तो,निम्नलिखित में से कौन सी प्रणाली (वास्तविक चरों में) प्रत्येक $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ के लिए कम से कम एक हल रखती है?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ और $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ और $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ और $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ और $x+4y-5z=b_3$

समीकरणों की प्रणाली $3x + 2y + z = 6$, $3x + 4y + 3z = 14$ और $6x + 10y + 8z = a$ के अनंत हल हैं, यदि $a$ का मान है