यदि सदिश $a$,$b$ और $c$ समतलीय हैं,तो $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $a, b, c$ भिन्न अऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ एक ही समतल में स्थित हैं,तो $c$ है

यदि $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ है,तो $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=$ . . . . . . .

यदि $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ और $\bar{c}+\bar{a}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारे हैं,तो इसका आयतन $ . . . . . . $ है।

कथन-$1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय (coplanar) होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ हो।
कथन-$2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ हो,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तल के लंबवत है।

मान लीजिए $a=p(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$, $b=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$, और $c=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $[abc]$ का मान $15$ से अधिक नहीं है और $-5$ से कम नहीं है, तो $p$ किस अंतराल में स्थित है?