જો સદિશો $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=p \hat{i}+\hat{j}+q \hat{k}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $(p, q)$ ની કિંમત શોધો.

જો $a = i + 2j - 3k$ અને $b = 3i - j + 2k$ હોય,તો સદિશો $a + b$ અને $a - b$ વચ્ચેનો ખૂણો ડિગ્રીમાં શોધો.

જો સદિશ $\vec{a}=\vec{0}$ અથવા $\vec{b}=\vec{0}$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ થાય. પરંતુ તેનું પ્રતીપ વિધાન સાચું હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ આપીને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે. જો $\theta$ એ સદિશો $(\hat{a}+\hat{b})$ અને $(\hat{a}+2 \hat{b}+2(\hat{a} \times \hat{b}))$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $164 \cos ^{2} \theta$ ની કિંમત શોધો.

જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$ થાય,તો $\hat{a} \cdot \hat{b}+\hat{b} \cdot \hat{c}+\hat{c} \cdot \hat{a}$ ની કિંમત શોધો.

સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ માટે,જો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ અને $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.