यदि एक त्रिभुज के शीर्ष $(5, 2)$,$(2/3, 2)$ और $(-4, 3)$ हैं,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & 7 \end{bmatrix}$ है,तो $a_{31} A_{31} + a_{32} A_{32} + a_{33} A_{33}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x - 2}\\ {2{x^2} + 3x - 1}&{3x}&{3x - 3}\\ {{x^2} + 2x + 3}&{2x - 1}&{2x - 1}\end{array}} \right| = Ax - 12$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x, y, z > 0$ क्रमशः $G.P.$ के $2^{nd}, 3^{rd}, 4^{th}$ पद हैं,और $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+1} & x^{k+2} \\ y^k & y^{k+1} & y^{k+2} \\ z^k & z^{k+1} & z^{k+2} \end{vmatrix} = (r-1)^2 \left(1 - \frac{1}{r^2}\right)$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है। तो $k = \dots$

मान लीजिए $S$,$\theta \in [-\pi, \pi]$ के उन सभी मानों का समुच्चय है जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है। तो $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु $A(a, b+c), B(b, c+a), C(c, a+b)$ संरेख हैं।