જો ત્રણ અસમાન સંખ્યાઓ p, q, r એ H.P. માં હોય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $q = \frac{2pr}{p+r}$.ધારો કે $K = \frac{pr}{p+r}$,તેથી $q = 2K$ અને $pr = K(p+r)$.$p^2, q^2, r^2$ એ $A.

Vedclass · Accepted Answer

$1 \mp \sqrt{3} : - 2 : 1 \pm \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $q = \frac{2pr}{p+r}$.ધારો કે $K = \frac{pr}{p+r}$,તેથી $q = 2K$ અને $pr = K(p+r)$.$p^2, q^2, r^2$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$2q^2 = p^2 + r^2$.$q = 2K$ મૂકતા,$2(4K^2) = p^2 + r^2$,એટલે કે $8K^2 = p^2 + r^2$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+r)^2 = p^2 + r^2 + 2pr = 8K^2 + 2K(p+r)$.ધારો કે $S = p+r$. તો $S^2 - 2KS - 8K^2 = 0$.$S$ માટે ઉકેલતા,$(S - 4K)(S + 2K) = 0$,તેથી $S = 4K$ અથવા $S = -2K$.જો $S = 4K$ હોય,તો $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = 16K^2 - 4(4K^2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p=r$,જે અસમાન સંખ્યાઓની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.જો $S = -2K$ હોય,તો $pr = K(-2K) = -2K^2$.તેથી $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = (-2K)^2 - 4(-2K^2) = 12K^2$.આમ $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$.$p+r = -2K$ અને $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$ ને ઉકેલતા,$p = (-1 \pm \sqrt{3})K$ અને $r = (-1 \mp \sqrt{3})K$ મળે.તેથી $p:q:r = 1 \mp \sqrt{3} : -2 : 1 \pm \sqrt{3}$.

જો ત્રણ અસમાન સંખ્યાઓ $p, q, r$ એ $H.P.$ માં હોય અને તેમના વર્ગો $A.P.$ માં હોય,તો ગુણોત્તર $p:q:r$ શું થાય?

Similar Questions

ધારો કે $a_0=0$ અને $n \geq 1$ માટે $a_n=3 a_{n-1}+1$ છે. તો,$a_{2010}$ ને $11$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module