यदि तीन असमान संख्याएँ p, q, r H.P. में हैं औ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $p, q, r$ $H.P.$ में हैं,अतः $q = \frac{2pr}{p+r}$।माना $K = \frac{pr}{p+r}$,तब $q = 2K$ और $pr = K(p+r)$।चूंकि $p^2, q^2, r^2$ $A.

Vedclass · Accepted Answer

$1 \mp \sqrt{3} : - 2 : 1 \pm \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $p, q, r$ $H.P.$ में हैं,अतः $q = \frac{2pr}{p+r}$।माना $K = \frac{pr}{p+r}$,तब $q = 2K$ और $pr = K(p+r)$।चूंकि $p^2, q^2, r^2$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2q^2 = p^2 + r^2$।$q = 2K$ प्रतिस्थापित करने पर,$2(4K^2) = p^2 + r^2$,अर्थात $8K^2 = p^2 + r^2$।हम जानते हैं कि $(p+r)^2 = p^2 + r^2 + 2pr = 8K^2 + 2K(p+r)$।माना $S = p+r$। तब $S^2 - 2KS - 8K^2 = 0$।$S$ के लिए हल करने पर,$(S - 4K)(S + 2K) = 0$,अतः $S = 4K$ या $S = -2K$।यदि $S = 4K$ है,तो $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = 16K^2 - 4(4K^2) = 0$,जिसका अर्थ है $p=r$,जो असमान संख्याओं की शर्त का खंडन करता है।यदि $S = -2K$ है,तो $pr = K(-2K) = -2K^2$।तब $(p-r)^2 = (p+r)^2 - 4pr = (-2K)^2 - 4(-2K^2) = 12K^2$।अतः $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$।$p+r = -2K$ और $p-r = \pm 2\sqrt{3}K$ को हल करने पर,$p = (-1 \pm \sqrt{3})K$ और $r = (-1 \mp \sqrt{3})K$ प्राप्त होता है।अतः $p:q:r = 1 \mp \sqrt{3} : -2 : 1 \pm \sqrt{3}$।

यदि तीन असमान संख्याएँ $p, q, r$ $H.P.$ में हैं और उनके वर्ग $A.P.$ में हैं,तो अनुपात $p:q:r$ क्या है?

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