यदि परवलय y^2=8x की दो स्पर्श रेखाएँ इसके शीर | vedclass

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Question

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8 \Rightarrow a=2$ प्राप्त होता है। माना $P$ और $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $(at_1^2, 2a

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$y^2=8(x+2)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8 \Rightarrow a=2$ प्राप्त होता है। माना $P$ और $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं। अतः,$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ है। इसी प्रकार,$Q$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ है। परवलय $y^2=8x$ के शीर्ष पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष है,अर्थात $x=0$। $M$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ प्राप्त होता है। अतः,$M=(0, 2t_1)$। $N$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(ii)$ में $x=0$ रखने पर,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ प्राप्त होता है। अतः,$N=(0, 2t_2)$। दिया गया है कि $MN=4$,इसलिए $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$। स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ है। अतः,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$। इसका अर्थ है $t_1t_2 = h/2$ और $t_1+t_2 = k/2$। हम जानते हैं कि $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$। मान रखने पर,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$। $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2=8(x+2)$ प्राप्त होता है।

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रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$,परवलय $y^2 = 4a(x + a)$ को स्पर्श करेगी यदि:

परवलय $y^2 = 4ax$ की सभी नाभि-जीवाओं (focal chords) के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ (locus) ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के बीच प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।

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