आकृति में,$O$ और $O^{\prime}$ केंद्रों वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि बिंदु $O, E, O^{\prime}$ संरेख हैं।

(N/A) $AO, OC$ और $O^{\prime}D, O^{\prime}B$ को मिलाइए।
$\triangle E O^{\prime} D$ और $\triangle E O^{\prime} B$ में:
$O^{\prime} D = O^{\prime} B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime} E = O^{\prime} E$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ED = EB$ (बाह्य बिंदु $E$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है)
इसलिए,$\triangle E O^{\prime} D \cong \triangle E O^{\prime} B$ ($SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इसका अर्थ है कि $\angle O^{\prime} E D = \angle O^{\prime} E B$,अतः $O^{\prime} E$,$\angle DEB$ का कोण समद्विभाजक है।
इसी प्रकार,$\triangle EOA$ और $\triangle EOC$ पर विचार करते हुए,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\triangle EOA \cong \triangle EOC$,जिसका अर्थ है कि $\angle OEA = \angle OEC$,अतः $OE$,$\angle AEC$ का कोण समद्विभाजक है।
चूँकि $AB$ और $CD$ बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं,$\angle AEC$ और $\angle DEB$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle AEC = \angle DEB$ है।
चूँकि $OE$,$\angle AEC$ को समद्विभाजित करता है और $O^{\prime}E$,$\angle DEB$ को समद्विभाजित करता है,और $\angle AEC = \angle DEB$ है,इसलिए $\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ होता है।
चूँकि $C, E, B$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं,$\angle OEC + \angle OEO^{\prime} + \angle O^{\prime}EB = 180^{\circ}$।
$\angle OEC = \angle O^{\prime}EB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\angle O^{\prime}EB + \angle OEO^{\prime} = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,चूँकि $O, E, O^{\prime}$ एक सीधी रेखा बनाते हैं,इसलिए कोण $\angle OEO^{\prime}$ का मान $180^{\circ}$ होना चाहिए।
अतः,$O, E, O^{\prime}$ संरेख हैं।