दी गई आकृति में,यदि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AB \parallel PS$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $OC \parallel SR$ है।

(N/A) दिया है: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PQ \parallel SR$ और $PS \parallel QR$ है। साथ ही,$AB \parallel PS$ है।
सिद्ध करना है: $OC \parallel SR$ है।
उपपत्ति: $\triangle OPS$ और $\triangle OAB$ में,चूंकि $PS \parallel AB$ है:
$\angle POS = \angle AOB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle OSP = \angle OBA$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle OPS \sim \triangle OAB$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{PS}{AB} = \frac{OS}{OB}$ ..........$(i)$
$\triangle CQR$ और $\triangle CAB$ में,चूंकि $QR \parallel PS \parallel AB$ है:
$\angle QCR = \angle ACB$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle CQR = \angle CAB$ (संगत कोण)
अतः,$\triangle CQR \sim \triangle CAB$ ($AA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
इस प्रकार,$\frac{QR}{AB} = \frac{CR}{CB}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS = QR$ है। यह मान रखने पर:
$\frac{PS}{AB} = \frac{CR}{CB}$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से:
$\frac{OS}{OB} = \frac{CR}{CB} \Rightarrow \frac{OB}{OS} = \frac{CB}{CR}$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{OB}{OS} - 1 = \frac{CB}{CR} - 1$
$\frac{OB - OS}{OS} = \frac{CB - CR}{CR}$
$\frac{BS}{OS} = \frac{BR}{CR}$ है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के विलोम द्वारा,$SR \parallel OC$ (या $OC \parallel SR$) है। इति सिद्धम्।