$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$,$N \in \overline{AB}$ અને $M \in \overline{BC}$ છે. સાબિત કરો કે $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
પગલું $1$: $\Delta ABM$ અને $\Delta CBN$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ કરો.
$\Delta ABM$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$ મળે.
$\Delta CBN$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$ મળે.
પગલું $2$: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BM^{2}) + (CB^{2} + BN^{2})$.
પગલું $3$: પદોને ફરીથી ગોઠવો.
$AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + CB^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
પગલું $4$: $\Delta ABC$ અને $\Delta MBN$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરો.
$\Delta ABC$ માં,$AC^{2} = AB^{2} + CB^{2}$.
$\Delta MBN$ માં,$MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
પગલું $5$: આ કિંમતોને પગલું $3$ ના સમીકરણમાં મૂકો.
$AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.