$\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$,$N \in \overline{AB}$ અને $M \in \overline{BC}$ છે. સાબિત કરો કે $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$. $N$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $M$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
સાબિતી:
$1$. કાટકોણ $\Delta ABM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$.
$2$. કાટકોણ $\Delta CBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$.
$3$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$.
$4$. પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$.
$5$. $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$6$. કાટકોણ $\Delta MBN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$.
$7$. આ કિંમતોને સ્ટેપ $4$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$.
આમ,વિધાન સાબિત થાય છે.