$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$N \in \overline{AB}$ और $M \in \overline{BC}$ है। सिद्ध कीजिए कि $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $N$,$AB$ पर एक बिंदु है और $M$,$BC$ पर एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
उपपत्ति:
$1$. समकोण $\Delta ABM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2}$।
$2$. समकोण $\Delta CBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $CN^{2} = CB^{2} + BN^{2}$।
$3$. इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AB^{2} + BM^{2} + CB^{2} + BN^{2}$।
$4$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = (AB^{2} + BC^{2}) + (BM^{2} + BN^{2})$।
$5$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$6$. समकोण $\Delta MBN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $MN^{2} = BM^{2} + BN^{2}$।
$7$. इन मानों को चरण $4$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।