$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$ है। $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ होता है।
$2$. समकोण $\Delta ABD$ में,$AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$ होता है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$। अतः,$AD^{2} = AB^{2} + (\frac{1}{2} BC)^{2} = AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}$।
$3$. समकोण $\Delta CBF$ में,$CF^{2} = BC^{2} + BF^{2}$ होता है। चूँकि $F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BF = \frac{1}{2} AB$। अतः,$CF^{2} = BC^{2} + (\frac{1}{2} AB)^{2} = BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2}$।
$4$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (AB^{2} + \frac{1}{4} BC^{2}) + (BC^{2} + \frac{1}{4} AB^{2})$।
$5$. सरल करने पर: $AD^{2} + CF^{2} = (1 + \frac{1}{4}) AB^{2} + (1 + \frac{1}{4}) BC^{2} = \frac{5}{4} AB^{2} + \frac{5}{4} BC^{2}$।
$6$. $\frac{5}{4}$ को कॉमन लेने पर: $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} (AB^{2} + BC^{2})$।
$7$. चूँकि $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ है,इसलिए हमें $AD^{2} + CF^{2} = \frac{5}{4} AC^{2}$ प्राप्त होता है।