$\Delta ABC$ માં,મધ્યગાઓ $AD$,$BE$ અને $CF$ બિંદુ $G$ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે,$ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA) = \frac{1}{3} ar(ABC)$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $ar(ABD) = ar(ACD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta GBC$ માં,$GD$ મધ્યગા છે,તેથી $ar(GBD) = ar(GCD)$.
$3$. મોટા ત્રિકોણમાંથી આ ક્ષેત્રફળો બાદ કરતા: $ar(GAB) = ar(ABD) - ar(GBD)$ અને $ar(GAC) = ar(ACD) - ar(GCD)$. $ar(ABD) = ar(ACD)$ અને $ar(GBD) = ar(GCD)$ હોવાથી,$ar(GAB) = ar(GAC)$ મળે છે.
$4$. સંમિતિ દ્વારા,$BE$ અથવા $CF$ મધ્યગાનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દર્શાવી શકીએ કે $ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA)$.
$5$. આ ત્રણેય ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $ar(ABC)$ હોવાથી,દરેકનું મૂલ્ય $\frac{1}{3} ar(ABC)$ થાય.