triangle ABC में,a^3 cos(B-C) + b^3 cos(C-A) | vedclass

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Question

(D) प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \co

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$3abc$

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(D) प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,और $c = a \cos B + b \cos A$ है।हम $a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot a \cos(B-C)$ लिख सकते हैं।चूंकि $a = 2R \sin A = 2R \sin(180^\circ - (B+C)) = 2R \sin(B+C)$,हमारे पास है:$a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot 2R \sin(B+C) \cos(B-C) = a^2 R [\sin(2B) + \sin(2C)] = a^2 R [2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C]$।$b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर,यह हो जाता है:$a^3 \cos(B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C) = a^2 b \cos B + a^2 c \cos C \quad \dots (i)$।इसी प्रकार,$b^3 \cos(C-A) = b^2 c \cos C + b^2 a \cos A \quad \dots (ii)$$c^3 \cos(A-B) = c^2 a \cos A + c^2 b \cos B \quad \dots (iii)$$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:योग $= (a^2 b \cos B + b^2 a \cos A) + (b^2 c \cos C + c^2 b \cos B) + (c^2 a \cos A + a^2 c \cos C)$$= ab(a \cos B + b \cos A) + bc(b \cos C + c \cos B) + ca(c \cos A + a \cos C)$$= ab(c) + bc(a) + ca(b) = abc + abc + abc = 3abc$।

$\triangle ABC$ में,$a^3 \cos(B-C) + b^3 \cos(C-A) + c^3 \cos(A-B)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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