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Question

(A) दिया गया व्यंजक $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ है।सर्वसमिका $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ और $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 -

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$60^\circ 	ext{ या } 120^\circ$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ है।सर्वसमिका $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ और $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$ का उपयोग करने पर, बायां पक्ष $((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ हो जाता है।यह $16\Delta^2$ के बराबर है जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।हीरोन के सूत्र द्वारा, $16\Delta^2 = 16s(s-a)(s-b)(s-c) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ है।दिया है $16\Delta^2 = 3b^2c^2$, इसलिए $2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 3b^2c^2$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर, $2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = b^2c^2$ प्राप्त होता है।कोज्या नियम $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर, $a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos A$ है।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $4b^2c^2 \cos^2 A = b^2c^2$ प्राप्त होता है, अतः $\cos^2 A = \frac{1}{4}$ है।इस प्रकार, $\cos A = \pm \frac{1}{2}$, जिससे $\angle A = 60^\circ 	ext{ या } 120^\circ$ प्राप्त होता है।

$\triangle ABC$ में, सामान्य संकेतों के साथ, $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$, तो $\angle A = $

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