एक खेल में,दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं,जिसकी शुरुआत खिलाड़ी $A$ करता है। प्रत्येक फेंक में दोनों पासों पर आए कुल अंकों को नोट किया जाता है। यदि $A$,$B$ के $7$ के कुल योग से पहले $6$ का कुल योग प्राप्त करता है तो $A$ जीत जाता है,और यदि $B$,$A$ के $6$ के कुल योग से पहले $7$ का कुल योग प्राप्त करता है तो $B$ जीत जाता है। जैसे ही कोई खिलाड़ी जीतता है,खेल रुक जाता है। $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $B_{i} (i=1, 2, 3)$ एक प्रतिदर्श समष्टि में तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं। केवल $B_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $B_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $B_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि कोई भी घटना $B_{i}$ घटित नहीं होती है और ये $4$ प्रायिकताएँ समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती हैं (सभी प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी गई हैं)। तो $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ का मान .......... है।

दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होंगी,यदि

दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,यदि $P(A) = P(A|B) = \frac{1}{4}$ और $P(B|A) = \frac{1}{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$U_1, U_2, U_3$ तीन कलश हैं। $U_1$ में $5$ लाल,$3$ सफेद,$2$ काली गेंदें हैं; $U_2$ में $4$ लाल,$4$ सफेद,$2$ काली गेंदें हैं और $U_3$ में $3$ लाल,$4$ सफेद,$3$ काली गेंदें हैं। यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए कलश से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,तो काली गेंद न मिलने की प्रायिकता क्या है?

$2$ अलमारियाँ हैं। एक अलमारी में $5$ भौतिकी और $3$ जीव विज्ञान की पुस्तकें हैं और दूसरी में $4$ भौतिकी और $2$ जीव विज्ञान की पुस्तकें हैं। तो भौतिकी की एक पुस्तक निकालने की प्रायिकता क्या है?