एक चतुर्भुज PQRS में, A, SR को 1:3 के अनुपात | vedclass

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Question

(D) माना $P, Q, R, S, A, B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं। दिया गया है कि $A$, $SR$ को $1:3$ के अनु

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$8$

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(D) माना $P, Q, R, S, A, B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं। दिया गया है कि $A$, $SR$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है, अतः $\vec{a} = \frac{3\vec{s} + 1\vec{r}}{1+3} = \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}$ है। चूंकि $B$, $PR$ का मध्य-बिंदु है, अतः $\vec{b} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$ है। दिया गया समीकरण $3\vec{SR} - \vec{QR} - 3\vec{PS} - \vec{PQ} = k\vec{AB}$ है। सदिशों का मान रखने पर: $3(\vec{r} - \vec{s}) - (\vec{r} - \vec{q}) - 3(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{q} - \vec{p}) = k(\vec{b} - \vec{a})$ $3\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r} + \vec{q} - 3\vec{s} + 3\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = k\left(\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} - \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}\right)$ बाईं ओर के समान पदों को संयोजित करने पर: $(3\vec{r} - \vec{r}) + (-3\vec{s} - 3\vec{s}) + (3\vec{p} + \vec{p}) + (\vec{q} - \vec{q}) = k\left(\frac{2\vec{p} + 2\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r}}{4}\right)$ $2\vec{r} - 6\vec{s} + 4\vec{p} = k\left(\frac{2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s}}{4}\right)$ दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर: $8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k(2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s})$ $8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k\vec{r} - 3k\vec{s} + 2k\vec{p}$ दोनों पक्षों में $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें $k = 8$ प्राप्त होता है।

एक चतुर्भुज $PQRS$ में, $A$, $SR$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है और $B$, $PR$ का मध्य-बिंदु है। यदि $3SR - QR - 3PS - PQ = kAB$ है, तो $k=$

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