निम्नलिखित व्यंजकों को देखिए: $(A)$ $(a \times b) \cdot c$, $(B)$ $a \times (b \cdot c)$, $(C)$ $a \cdot (b \cdot c)$, $(D)$ $|a|(b \cdot c)$, $(E)$ $(a \cdot b) \times (b \cdot c)$। इनके गणितीय अर्थ के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ चार बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं कि $2 \vec{a}+3 \vec{b}+5 \vec{c}-10 \vec{d}=\vec{0}$,तो वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें $\vec{c}$ और $\vec{d}$ को मिलाने वाली रेखा,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।

यदि एक त्रिभुज में $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ है,और $D$ तथा $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,तो $\overrightarrow{DE}$ किसके बराबर है?

यदि $\overline{r} = -4 \hat{i} - 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$ सदिशों $\overline{a} = -\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overline{b} = -8 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ का एक रैखिक संयोजन है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ हैं,तो $AB$ के मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश क्या होगा?

मान लीजिए कि $\overrightarrow{OA} = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$, $\overrightarrow{OB} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$, और $\overrightarrow{OC} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ तीन बिंदुओं $A$, $B$ और $C$ के स्थिति सदिश हैं। मान लीजिए $P$ वह बिंदु है जो $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि $l, m, n$ सदिश $\overrightarrow{PC}$ की दिक्-कोसाइन हैं, तो $l + 3m + 2n =$