એક ઉપવલયમાં,તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $8$ છે. તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

એક લંબગોળ જેના ગૌણ અને મુખ્ય અક્ષો યામ અક્ષોને સમાંતર છે,તે $(0,0)$,$(1,0)$ અને $(0,2)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું એક નાભિ $Y$-અક્ષ પર આવેલું છે. લંબગોળની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. ધારો કે $AO$ એ તેની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,જ્યાં $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. રેખાઓ $AF_1$ અને $AF_2$ ને લંબાવતા,તે ઉપવલયને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓ પર ફરીથી છેદે છે. ધારો કે $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તો,ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $O(0, 0)$ અને $A(0, 1)$ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $\Delta AOP$ ની પરિમિતિ $4$ થાય.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર,ધારો કે $P$ એ બીજા ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે. ધારો કે $S$ અને $S'$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $(5-e^{2}) \cdot A$ નું મૂલ્ય શોધો.

જેનું લેટસ રેક્ટમ (નાભિલંબ) $8$ છે અને જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ,મુખ્ય અક્ષોના સંદર્ભમાં,શોધો.