આકૃતિમાં,$\angle ABC = 69^{\circ}$ અને $\angle ACB = 31^{\circ}$ આપેલ છે. $\angle BDC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)

ધારો કે એક ખૂણા $\angle ABC$ નો શિરોબિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલો છે અને ખૂણાની બાજુઓ વર્તુળ સાથે સમાન જીવાઓ $AD$ અને $CE$ બનાવે છે. સાબિત કરો કે $\angle ABC$ એ જીવાઓ $DE$ અને $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાઓના તફાવતથી અડધો છે.

જો વર્તુળની બે છેદતી જીવાઓ તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વ્યાસ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે,તો સાબિત કરો કે તે જીવાઓ સમાન છે.

વર્તુળોની વિવિધ જોડીઓ દોરો. દરેક જોડીમાં કેટલા બિંદુઓ સામાન્ય છે? સામાન્ય બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે?

આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AC$ અને $BD$ તેના વિકર્ણો છે. જો $\angle DBC = 55^{\circ}$ અને $\angle BAC = 45^{\circ}$ હોય,તો $\angle BCD$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)

આકૃતિમાં,$A, B, C$ અને $D$ વર્તુળ પરના ચાર બિંદુઓ છે. $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $E$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\angle BEC = 130^{\circ}$ અને $\angle ECD = 20^{\circ}$ થાય. $\angle BAC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)