આકૃતિમાં,$D$ એ $\Delta ABC$ ના કર્ણ $AC$ પરનું એક બિંદુ છે,જેથી $BD \perp AC,$ $DM \perp BC,$ અને $DN \perp AB$ થાય. સાબિત કરો કે $DN^{2} = DM \cdot AN.$

(N/A) ચતુષ્કોણ $DMBN$ માં,$\angle DMB = 90^{\circ},$ $\angle DNB = 90^{\circ},$ અને $\angle MBN = 90^{\circ}$ (આપેલ છે કે $\angle ABC = 90^{\circ}$) હોવાથી,ચોથો ખૂણો $\angle MDN$ પણ $90^{\circ}$ થાય. આમ,$DMBN$ એક લંબચોરસ છે.
તેથી,$DM = NB$ અને $DN = MB.$
$\Delta ABC$ માં,$BD \perp AC.$ કાટકોણ ત્રિકોણમાં સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\Delta ADN \sim \Delta ABD$ અને $\Delta BDC \sim \Delta ABD$ થાય.
વધુ સ્પષ્ટ રીતે,$\Delta DNB$ અને $\Delta ADN$ માં:
$\angle DNB = \angle DNA = 90^{\circ}.$
$\angle NDB = \angle DAN$ (કારણ કે બંને $\angle ADN$ ના કોટિકોણ છે).
આમ,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta DNB \sim \Delta ADN$ થાય.
તેથી,$\frac{DN}{AN} = \frac{NB}{DN}.$
$DN^{2} = AN \cdot NB.$
$NB = DM$ હોવાથી,આપણને મળે છે $DN^{2} = AN \cdot DM.$