$21$ અંગ્રેજી અને $19$ હિન્દી પુસ્તકોને એક હારમાં કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે હિન્દી પુસ્તકો સાથે ન આવે?

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા અલગ-અલગ $2$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય,જો કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન ન થાય?

$3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાના છે. છોકરાઓમાં,$X$ કોઈ પણ છોકરીને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતો નથી,અને છોકરીઓમાં,$Y$ કોઈ પણ છોકરાને પડોશી તરીકે રાખવા માંગતી નથી. આવી કેટલી ગોઠવણીઓ શક્ય છે?

ધારો કે અગિયાર અક્ષરો $A, B, \dots, K$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $(1, 2, \dots, 11)$ ના કોઈપણ ક્રમચય (permutation) દર્શાવે છે. તો, ગુણાકાર $(A - 1)(B - 2)(C - 3) \dots (K - 11)$ શું થશે?

$5$ અલગ-અલગ લીલા દડા,$4$ અલગ-અલગ વાદળી દડા અને $3$ અલગ-અલગ લાલ દડામાંથી કેટલા જૂથ બનાવી શકાય,જો ઓછામાં ઓછો $1$ લીલો અને $1$ વાદળી દડો સામેલ હોય?

$8$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓમાંથી,સાત વ્યક્તિઓનું એક જૂથ બનાવવાનું છે. આ જૂથ કેટલી રીતે બનાવી શકાય કે જેથી તેમાં ઓછામાં ઓછી બે સ્ત્રીઓનો સમાવેશ થાય?