જો $9$ અભ્યાસક્રમો ઉપલબ્ધ હોય અને દરેક વિદ્યાર્થી માટે $2$ ચોક્કસ અભ્યાસક્રમો ફરજિયાત હોય,તો વિદ્યાર્થી $5$ અભ્યાસક્રમોનો કાર્યક્રમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

$4$ ભિન્ન કાળા રંગના અને $3$ ભિન્ન સફેદ રંગના દડા પૈકી બે સમાન રંગના દડા કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

$9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં વધુમાં વધુ $3$ છોકરીઓ હોય,તો આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

એક વિદ્યાર્થીએ $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં ભાગ $A$ અને $B$ દરેકમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. જો ભાગ $A$ માં $6$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માં $7$ પ્રશ્નો હોય,તો વિદ્યાર્થી $10$ પ્રશ્નો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

એક લોટરીમાં,એક વ્યક્તિ $1$ થી $20$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી યાદચ્છિક રીતે છ અલગ-અલગ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પસંદ કરે છે. જો આ છ સંખ્યાઓ લોટરી સમિતિ દ્વારા પહેલેથી નક્કી કરેલી છ સંખ્યાઓ સાથે મેળ ખાય,તો તે વ્યક્તિ ઇનામ જીતે છે. રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના કેટલી છે? [સૂચના: સંખ્યાઓનો ક્રમ મહત્વનો નથી.]

$^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = $