ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AC = BD$ અને $AC \perp BD$ છે. જો $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો સાબિત કરો કે $PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. $\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{2} BD$. $\triangle BCD$ માં,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે),તેથી $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,જેનો અર્થ છે કે $PQ = SR = PS = QR$. આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$6$. $AC \perp BD$ હોવાથી,અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle QPS = 90^{\circ}$.
$7$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.