चतुर्भुज $ABCD$ में,$AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। यदि $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $PQRS$ एक वर्ग है।

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
$3$. अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{2} BD$ है। $\triangle BCD$ में,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{2} BD$ है।
$5$. चूँकि $AC = BD$ (दिया गया है),इसलिए $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,जिसका अर्थ है कि $PQ = SR = PS = QR$ है। अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
$6$. चूँकि $AC \perp BD$ है,और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$ है,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle QPS = 90^{\circ}$ है।
$7$. एक समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह एक वर्ग होता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।