मूल बिंदु से समतल $x+y+z=1$ पर खींचे गए लंब के पाद (foot of the perpendicular) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

$\pi_1$ एक समतल है जो बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरता है और समतलों $x+2y+3z-6=0$ और $x+2y+2z-5=0$ के लंबवत है। यदि $(-1, 2, -3)$ बिंदु $(1, 3, 2)$ से समतल $\pi_2$ पर खींचे गए लंब का पाद है, तो समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $(2, -3, 1)$ से होकर गुजरता है और $(3, 4, -1)$ तथा $(2, -1, 5)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।

मान लीजिए $R^3$ त्रि-आयामी स्थान को दर्शाता है। दो बिंदु $P=(1, 2, 3)$ और $Q=(4, 2, 7)$ लें। मान लीजिए $\operatorname{dist}(X, Y)$ $R^3$ में दो बिंदुओं $X$ और $Y$ के बीच की दूरी को दर्शाता है। मान लीजिए
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ एक ऐसा त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $1$ है और जिसके सभी शीर्ष $S$ से हैं।
$(B)$ $T$ में दो अलग-अलग बिंदु $L$ और $M$ हैं ताकि रेखाखंड $LM$ पर प्रत्येक बिंदु भी $T$ में हो।
$(C)$ $48$ परिधि वाले अनंत आयत हैं,जिनके दो शीर्ष $S$ से हैं और अन्य दो शीर्ष $T$ से हैं।
$(D)$ $48$ परिधि वाला एक वर्ग है,जिसके दो शीर्ष $S$ से हैं और अन्य दो शीर्ष $T$ से हैं।

निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए: $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$

निम्नलिखित तीन समतलों पर विचार करें:
$P : x + y - 2z + 7 = 0$
$Q : x + y + 2z + 2 = 0$
$R : 3x + 3y - 6z - 11 = 0$