ત્રિકોણ $ABC$ માં,જે $B$ આગળ કાટખૂણો છે,જો $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો નીચેનાની કિંમત શોધો:
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C$

(N/A) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
$\tan A = \frac{\text{$\text{$\angle A$ ની સામેની બાજુ}$}}{\text{$\text{$\angle A$ ની પાસેની બાજુ}$}} = \frac{BC}{AB}$ હોવાથી,
$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
ધારો કે $BC = k$ અને $AB = \sqrt{3}k,$ જ્યાં $k$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 = 3k^2 + k^2 = 4k^2$
$AC = 2k$
હવે,આપણે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધીએ:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$