त्रिभुज $ABC$ में,जिसका कोण $B$ समकोण है,यदि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C$

(N/A) दिया गया है कि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
चूंकि $\tan A = \frac{\text{$\text{$\angle A$ की सम्मुख भुजा}$}}{\text{$\text{$\angle A$ की संलग्न भुजा}$}} = \frac{BC}{AB},$
अतः $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
माना $BC = k$ और $AB = \sqrt{3}k,$ जहाँ $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 = 3k^2 + k^2 = 4k^2$
$AC = 2k$
अब,हम त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$