વિધેયનું સંકલન કરો: $x \sin^{-1} x$

ધારો કે $I = \int x \sin^{-1} x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\sin^{-1} x$ એ પ્રથમ વિધેય છે અને $x$ એ બીજું વિધેય છે:
$I = \sin^{-1} x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} \sin^{-1} x \int x \, dx \right) dx$
$I = \sin^{-1} x \left( \frac{x^2}{2} \right) - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx$
$I = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
સંકલન ઉકેલવા માટે,અંશને $x^2 = -(1-x^2) + 1$ તરીકે લખતા:
$I = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{-(1-x^2) + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
$I = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \int \sqrt{1-x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ અને $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right) - \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C$
$I = \frac{x^2 \sin^{-1} x}{2} + \frac{x}{4} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{4} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C$
$I = \frac{1}{4} (2x^2 - 1) \sin^{-1} x + \frac{x}{4} \sqrt{1-x^2} + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.