फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}$

माना $\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B}{x^{2}+4}$.
$y = x^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{(y+1)(y+4)} = \frac{A}{y+1} + \frac{B}{y+4}$.
$1 = A(y+4) + B(y+1)$.
$y = -1$ के लिए,$1 = A(3) \Rightarrow A = \frac{1}{3}$.
$y = -4$ के लिए,$1 = B(-3) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.
अतः,$\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3(x^{2}+1)} - \frac{1}{3(x^{2}+4)}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}+2^{2}} dx$.
मानक समाकलन $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.
$= \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) - \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.