(x+2 y^3) frac{d y}{d x}=y^2 का समाकलन गुणक ( | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ है। समीकरण को $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 \frac{d x}{

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$e^{(1/y)}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ है। समीकरण को $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 \frac{d x}{d y} = x + 2y^3$ $\frac{d x}{d y} - \frac{1}{y^2} x = 2y$. यहाँ,$P(y) = -\frac{1}{y^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy}$ द्वारा प्राप्त होता है। $IF = e^{\int -\frac{1}{y^2} dy} = e^{\int -y^{-2} dy} = e^{-(-y^{-1})} = e^{1/y}$. अतः,समाकलन गुणक $e^{(1/y)}$ है।

$(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ का हल है,जहाँ $y(0)=0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\tan x$, अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है, तो $P$ हो सकता है

अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है):

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = 1$ का हल है

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