औचित्य बताइए कि क्या यह कहना सत्य है कि निम्नलिखित $AP$ (समांतर श्रेणी) के $n$ वें पद हैं।
$(i)$ $2n-3$
$(ii)$ $3n^{2}+5$
$(iii)$ $1+n+n^{2}$

(N/A) $(i)$ हाँ,यहाँ $a_{n}=2n-3$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=2(1)-3=-1$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=2(2)-3=1$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=2(3)-3=3$ है।
$n=4$ रखने पर,$a_{4}=2(4)-3=5$ है।
संख्याओं की सूची $-1, 1, 3, 5, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=1-(-1)=2$,$a_{3}-a_{2}=3-1=2$,और $a_{4}-a_{3}=5-3=2$ है।
चूँकि सार्व अंतर $d=2$ समान है,इसलिए $2n-3$ एक $AP$ का $n$ वाँ पद है।
$(ii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=3n^{2}+5$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=3(1)^{2}+5=8$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=3(2)^{2}+5=17$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=3(3)^{2}+5=32$ है।
संख्याओं की सूची $8, 17, 32, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=17-8=9$ और $a_{3}-a_{2}=32-17=15$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।
$(iii)$ नहीं,यहाँ $a_{n}=1+n+n^{2}$ है।
$n=1$ रखने पर,$a_{1}=1+1+(1)^{2}=3$ है।
$n=2$ रखने पर,$a_{2}=1+2+(2)^{2}=7$ है।
$n=3$ रखने पर,$a_{3}=1+3+(3)^{2}=13$ है।
संख्याओं की सूची $3, 7, 13, \ldots$ है।
यहाँ,$a_{2}-a_{1}=7-3=4$ और $a_{3}-a_{2}=13-7=6$ है।
चूँकि $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाता है।