मान लीजिए $a, b, c$ ऐसी अवास्तविक संख्याएँ हैं जो समीकरण $x^5 = 1$ को संतुष्ट करती हैं और $S$,$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ रूप के सभी अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है,जहाँ $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$ है। तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं और $I$ एक $3 \times 3$ इकाई आव्यूह है,तो $(a + b)$ का मान क्या होगा?

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$ और सदिश $\vec{a} = (1, a, a^2)$,$\vec{b} = (1, b, b^2)$,और $\vec{c} = (1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $X = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ है। यदि $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(A) = \det(A)$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$ उन सभी गैर-शून्य आव्यूहों का समुच्चय है जो $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से प्रत्येक या तो $\omega$ है या $\omega^2$ है। तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है

मान लीजिए कि $M$ क्रम $3 \times 3$ के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और $S=\{-3,-2,-1,1,2\}$ है। मान लीजिए $S_1=\{A=[a_{ij}] \in M: A=A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,$S_2=\{A=[a_{ij}] \in M: A=-A^{T} \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$,और $S_3=\{A=[a_{ij}] \in M: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 \text{ और } a_{ij} \in S, \forall i, j\}$ है। यदि $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3)=125 \alpha$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।