ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે; તો $f(x)$ નો આલેખ કયા ચરણમાં આવેલો છે :-

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે, $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |

ધારો કે $f(x) = -1 + |x - 2|$ અને $g(x) = 1 - |x|$ છે. તો $fog$ જ્યાં અસતત હોય તેવા તમામ બિંદુઓનો ગણ કયો છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=2x+3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $f(x^2)-2f(\frac{x}{2})-1=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2=$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ વિધેયો છે જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
ધારો કે $a, b, c, d \in R$. વિધેય $h: R \rightarrow R$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P)$ જો $a=0, b=1, c=0$ અને $d=0$ હોય,તો	$(1)$ $h$ એક-એક છે
$(Q)$ જો $a=1, b=0, c=0$ અને $d=0$ હોય,તો	$(2)$ $h$ વ્યાપ્ત છે
$(R)$ જો $a=0, b=0, c=1$ અને $d=0$ હોય,તો	$(3)$ $h$ એ $R$ પર વિકલનીય છે
$(S)$ જો $a=0, b=0, c=0$ અને $d=1$ હોય,તો	$(4)$ $h$ નો વિસ્તાર $[0,1]$ છે
	$(5)$ $h$ નો વિસ્તાર $\{0,1\}$ છે

સાચો વિકલ્પ છે

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?