मान लीजिए $A = R - \{3\}$ और $B = R - \{1\}$ है। फलन $f: A \rightarrow B$ पर विचार करें जो $f(x) = \left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परिभाषित है। क्या $f$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध करें।

(A) दिया गया है $A = R - \{3\}$,$B = R - \{1\}$ और $f: A \rightarrow B$ जो $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित है।
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $x, y \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।
$\Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = \frac{y-2}{y-3}$
$\Rightarrow (x-2)(y-3) = (y-2)(x-3)$
$\Rightarrow xy - 3x - 2y + 6 = xy - 3y - 2x + 6$
$\Rightarrow -3x - 2y = -3y - 2x$
$\Rightarrow x = y$।
चूंकि $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$,इसलिए $f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
मान लीजिए $y \in B = R - \{1\}$। तो $y \neq 1$।
हमें $x \in A$ ज्ञात करना है ताकि $f(x) = y$ हो।
$\frac{x-2}{x-3} = y$
$\Rightarrow x - 2 = y(x - 3)$
$\Rightarrow x - 2 = xy - 3y$
$\Rightarrow x - xy = 2 - 3y$
$\Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y$
$\Rightarrow x = \frac{2 - 3y}{1 - y}$।
चूंकि $y \neq 1$,$x$ सुपरिभाषित है। साथ ही,$x \neq 3$ क्योंकि यदि $\frac{2 - 3y}{1 - y} = 3$ है,तो $2 - 3y = 3 - 3y$,जिसका अर्थ है $2 = 3$,जो एक विरोधाभास है। अतः $x \in A$।
चूंकि प्रत्येक $y \in B$ के लिए,$x \in A$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$ हो,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।