ધારો કે $A = R - \{3\}$ અને $B = R - \{1\}$ છે. વિધેય $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = \left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. શું $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

(A) આપેલ છે કે $A = R - \{3\}$,$B = R - \{1\}$ અને $f: A \rightarrow B$ એ $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in A$ એવા છે કે જેથી $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow \frac{x-2}{x-3} = \frac{y-2}{y-3}$
$\Rightarrow (x-2)(y-3) = (y-2)(x-3)$
$\Rightarrow xy - 3x - 2y + 6 = xy - 3y - 2x + 6$
$\Rightarrow -3x - 2y = -3y - 2x$
$\Rightarrow x = y$.
કારણ કે $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$,તેથી $f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y \in B = R - \{1\}$. તો $y \neq 1$.
આપણે એવો $x \in A$ શોધવો છે કે જેથી $f(x) = y$.
$\frac{x-2}{x-3} = y$
$\Rightarrow x - 2 = y(x - 3)$
$\Rightarrow x - 2 = xy - 3y$
$\Rightarrow x - xy = 2 - 3y$
$\Rightarrow x(1 - y) = 2 - 3y$
$\Rightarrow x = \frac{2 - 3y}{1 - y}$.
કારણ કે $y \neq 1$,$x$ સુવ્યાખ્યાયિત છે. વળી,$x \neq 3$ કારણ કે જો $\frac{2 - 3y}{1 - y} = 3$ હોય,તો $2 - 3y = 3 - 3y$,જેનો અર્થ છે કે $2 = 3$,જે વિરોધાભાસ છે. આમ $x \in A$.
દરેક $y \in B$ માટે,એવો $x \in A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.