मान लीजिए कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है। सिद्ध कीजिए कि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर एक वर्धमान फलन है।

यह सिद्ध करने के लिए कि $f$ अंतराल $(a, b)$ पर एक वर्धमान फलन है,हम माध्य मान प्रमेय $(MVT)$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि $x_1$ और $x_2$ अंतराल $(a, b)$ में कोई दो बिंदु हैं,जहाँ $x_1 < x_2$ है।
चूँकि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित है और सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f$ अंतराल $[x_1, x_2]$ पर सतत है और $(x_1, x_2)$ पर अवकलनीय है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (x_1, x_2)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ है।
चूँकि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है,इसलिए $f^{\prime}(c) > 0$ होगा।
चूँकि $x_1 < x_2$ है,इसलिए $x_2 - x_1 > 0$ होगा।
अतः,$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x_2) - f(x_1) > 0$,या $f(x_2) > f(x_1)$ है।
चूँकि $x_1 < x_2$ का तात्पर्य $f(x_1) < f(x_2)$ से है,इसलिए फलन $f$ अंतराल $(a, b)$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।